DIFERENSIAL
1.1 Definisi Diferensial
Diferensial atau turunan fungsi dapat diartikan sebagai uraian berikut ini
Apabila diketahui y =f (x) maka, diferensial dari fungsi y adalah
y =
1.2 Diferensial Fungsi Aljabar
Diferensial fungsi aljabar merupakan diferensial fungsi yang memiliki peubah dan koefisien seperti x,y,t dan lain-lain. Selain itu ada fungsi yang memiliki pangkat 1,2,3 dan seterusnya. Aturan mengenai macam-macam diferensial fungsi tersebut adalah sebagai berikut :
a. Jika fungsi f (x) =axn , maka diferensialnya adalah
f ’( x) = anxn-1
Contoh soal : tentukan diferensial dari
1. y = 4x5
2. y =
Jawab :
1. y = 4x5 maka y’ = 4 . 5x5-1
= 20x4
2. y = maka y’ = 3. (-4)x-4-1
= -12x-5
=
b. Jika fungsi f (x) = g(x) ± h(x) , maka diferensialnya adalah
f ’(x) = g’(x) ± h’(x)
Contoh soal : tentukan diferensial dari
1. y = x5 + 2x3
2. y = x2 + 3x + 7
Jawab :
1. y = x5 + 2x3 maka y’ = 5x5-1 + 2.3x3-1
= 5x4 + 6x2
2. y = x2 + 3x + 7 maka y’ = 2x2-1 + 3x1-1
= 2x + 3
c. Jika fungsi f (x) = u (x) . v (x), maka diferensialnya adalah
f ’(x) = u’ (x) . v (x) ± u (x) . v’ (x)
Contoh soal : tentukan diferensial dari
a. y = x3(x2 – 5)
b. y = (x3 – 7) (2x – 3)
Jawab :
a. y = x3(x2 – 5) maka y’ = 3x2(x2 – 5) + x32x
= 3x4 – 15x2 + 2x4
= 5x4 - 15x2
= 5x2 (x2 – 3)
b. y= (x3 – 7)(2x – 3) maka y’ = 2(x3 – 7) + 3x2(2x – 3)
= 2x3 – 14 + 16 + 9x2
= 8x3 + 9x2 – 14
d. Jika fungsi f (x) =, maka diferensialnya adalah
f ’(x) =
Contoh soal : tentukan diferensial dari
a. y =
b.y =
Jawab :
a. y = maka y’ =
=
=
=
=
b. y = maka y’ =
=
=
1.3 Diferensial Fungsi Trigonometri
Diferensial Fungsi Trigonometri merupakan diferensial dari fungsi-fungsi sinus, cosinus, tangen, secan, cosecant dan cotangent. Aturan mengenai macam-macam diferensial fungsi tersebut adalah sebagai berikut :
a. Jika fungsi f (x) = sin x , maka diferensialnya adalah
f ’(x) = cos x
Contoh soal : tentukan diferensial dari
a. y = 3 sin x
b. y = x2 + 2 sin x
Jawab :
a. y = 3 sin x maka y’ = 3 cos x
b. y = x2 + 2 sin x maka y’ = 2x + 2 cos x
b. Jika fungsi f (x) =cos x , maka diferensialnya adalah
f ’(x) = -sin x
Contoh soal : tentukan diferensial dari
a. y = 5 cos x
b. y = 4x3 + 2 cos x
Jawab :
a. y = 5 cos x maka y’ = - 5 sin x
b. y = 4x3 + 2 cos x maka y’ = 12x2 – 2 sin x\
c. Jika fungsi f (x) =tan x , maka diferensialnya adalah
f ’(x) = sec2 x
Contoh soal : tentukan diferensial dari
a. y = 12 tan x
b. y = 9x5 + 2 tan x
Jawab :
a. y = 12 tan x maka y’ = 12 tan x
b. y = 4x3 + 2 tan x maka y ’= 12x2 – 2 tan x
d. Jika fungsi f (x) =cot x , maka diferensialnya adalah
f ’(x) = - cosec2 x
Contoh soal : tentukan diferensial dari
a. y = 34 cot x
b. y = 9x5 + 2 tan x
Jawab :
a. y = 34 cot x maka y’ = 34 –cosec2 x
b. y = 9x5 + 2 tan x maka y’ = 45x4 – ( - 2cosec2 x)
= 45x4 + 2cosec2 x
e. Jika fungsi f (x) =sec x , maka diferensialnya adalah
f ’(x) =sec x tan x
Contoh soal : tentukan diferensial dari
a. y = 34 sec x
b. y = 9x5 + 2 sec x
Jawab :
a. y = 345 sec x maka y’= 345 sec x tan x
b. y = 8x9 – 2 sec x maka y’= 72x8 – 2 sec x tan x
e. Jika fungsi f (x) =cosec x , maka diferensialnya adalah
f ’(x) =-cosec x cotan x
Contoh soal : tentukan diferensial dari
a. y = 12 cosec x
b. y = 7x5 + 5 cosec x
Jawab :
a. y = 12 cosec x maka y’ = 12 –cosec2 x cotan x
b. y = 7x5 + 5 cosec x maka y’ = 35x4 + (– 5 cosec x cotan x)
= 35x4 – 5 cosec x cotan x
1.4 Diferensial Fungsi Komposisi (Aturan Berantai)
Misalnya fungsi y = f(u) dengan u=g(x) dan y = (fog)(x) = f(g(x)). Maka diferensial fungsi komposisi y = (fog)(x) ditentukan oleh rumus :
(fog)’(x) = f’(g(x)) . g’(x)
Atau
=
Contoh soal : tentukan diferensial dari
y = sin3(2x – 1) maka y’ = 3u2 cos v (2)
= 3 sin2 (2x – 1) cos (2x – 1) (2)
= 6 sin2 (2x – 1) cos (2x – 1)