Selasa, 22 Juli 2008

DIFERENSIAL

1.1 Definisi Diferensial

Diferensial atau turunan fungsi dapat diartikan sebagai uraian berikut ini

Apabila diketahui y =f (x) maka, diferensial dari fungsi y adalah

y =

1.2 Diferensial Fungsi Aljabar

Diferensial fungsi aljabar merupakan diferensial fungsi yang memiliki peubah dan koefisien seperti x,y,t dan lain-lain. Selain itu ada fungsi yang memiliki pangkat 1,2,3 dan seterusnya. Aturan mengenai macam-macam diferensial fungsi tersebut adalah sebagai berikut :

a. Jika fungsi f (x) =axn , maka diferensialnya adalah

f ’( x) = anxn-1

Contoh soal : tentukan diferensial dari

1. y = 4x5

2. y =

Jawab :

1. y = 4x5 maka y’ = 4 . 5x5-1

= 20x4

2. y = maka y’ = 3. (-4)x-4-1

= -12x-5

=

b. Jika fungsi f (x) = g(x) ± h(x) , maka diferensialnya adalah

f ’(x) = g’(x) ± h’(x)

Contoh soal : tentukan diferensial dari

1. y = x5 + 2x3

2. y = x2 + 3x + 7

Jawab :

1. y = x5 + 2x3 maka y’ = 5x5-1 + 2.3x3-1

= 5x4 + 6x2

2. y = x2 + 3x + 7 maka y’ = 2x2-1 + 3x1-1

= 2x + 3

c. Jika fungsi f (x) = u (x) . v (x), maka diferensialnya adalah

f ’(x) = u’ (x) . v (x) ± u (x) . v’ (x)

Contoh soal : tentukan diferensial dari

a. y = x3(x2 – 5)

b. y = (x3 – 7) (2x – 3)

Jawab :

a. y = x3(x2 – 5) maka y’ = 3x2(x2 – 5) + x32x

= 3x4 – 15x2 + 2x4

= 5x4 - 15x2

= 5x2 (x2 – 3)

b. y= (x3 – 7)(2x – 3) maka y’ = 2(x3 – 7) + 3x2(2x – 3)

= 2x3 – 14 + 16 + 9x2

= 8x3 + 9x2 – 14

d. Jika fungsi f (x) =, maka diferensialnya adalah

f ’(x) =

Contoh soal : tentukan diferensial dari

a. y =

b.y =

Jawab :

a. y = maka y’ =

=

=

=

=

b. y = maka y’ =

=

=

1.3 Diferensial Fungsi Trigonometri

Diferensial Fungsi Trigonometri merupakan diferensial dari fungsi-fungsi sinus, cosinus, tangen, secan, cosecant dan cotangent. Aturan mengenai macam-macam diferensial fungsi tersebut adalah sebagai berikut :

a. Jika fungsi f (x) = sin x , maka diferensialnya adalah

f ’(x) = cos x

Contoh soal : tentukan diferensial dari

a. y = 3 sin x

b. y = x2 + 2 sin x

Jawab :

a. y = 3 sin x maka y’ = 3 cos x

b. y = x2 + 2 sin x maka y’ = 2x + 2 cos x

b. Jika fungsi f (x) =cos x , maka diferensialnya adalah

f ’(x) = -sin x

Contoh soal : tentukan diferensial dari

a. y = 5 cos x

b. y = 4x3 + 2 cos x

Jawab :

a. y = 5 cos x maka y’ = - 5 sin x

b. y = 4x3 + 2 cos x maka y’ = 12x2 2 sin x\

c. Jika fungsi f (x) =tan x , maka diferensialnya adalah

f ’(x) = sec2 x

Contoh soal : tentukan diferensial dari

a. y = 12 tan x

b. y = 9x5 + 2 tan x

Jawab :

a. y = 12 tan x maka y’ = 12 tan x

b. y = 4x3 + 2 tan x maka y ’= 12x2 2 tan x

d. Jika fungsi f (x) =cot x , maka diferensialnya adalah

f ’(x) = - cosec2 x

Contoh soal : tentukan diferensial dari

a. y = 34 cot x

b. y = 9x5 + 2 tan x

Jawab :

a. y = 34 cot x maka y’ = 34 –cosec2 x

b. y = 9x5 + 2 tan x maka y’ = 45x4 – ( - 2cosec2 x)

= 45x4 + 2cosec2 x

e. Jika fungsi f (x) =sec x , maka diferensialnya adalah

f ’(x) =sec x tan x

Contoh soal : tentukan diferensial dari

a. y = 34 sec x

b. y = 9x5 + 2 sec x

Jawab :

a. y = 345 sec x maka y’= 345 sec x tan x

b. y = 8x9 – 2 sec x maka y’= 72x8 – 2 sec x tan x

e. Jika fungsi f (x) =cosec x , maka diferensialnya adalah

f ’(x) =-cosec x cotan x

Contoh soal : tentukan diferensial dari

a. y = 12 cosec x

b. y = 7x5 + 5 cosec x

Jawab :

a. y = 12 cosec x maka y’ = 12 –cosec2 x cotan x

b. y = 7x5 + 5 cosec x maka y’ = 35x4 + (– 5 cosec x cotan x)

= 35x4 – 5 cosec x cotan x

1.4 Diferensial Fungsi Komposisi (Aturan Berantai)

Misalnya fungsi y = f(u) dengan u=g(x) dan y = (fog)(x) = f(g(x)). Maka diferensial fungsi komposisi y = (fog)(x) ditentukan oleh rumus :

(fog)’(x) = f’(g(x)) . g’(x)

Atau

=

Contoh soal : tentukan diferensial dari

y = sin3(2x – 1) maka y’ = 3u2 cos v (2)

= 3 sin2 (2x – 1) cos (2x – 1) (2)

= 6 sin2 (2x – 1) cos (2x – 1)